Differences between revisions 1 and 27 (spanning 26 versions)
⇤ ← Revision 1 as of 2010-02-01 09:46:51 →
Size: 185
Editor: anonymous
Comment:
← Revision 27 as of 2010-02-01 10:30:51 → ⇥
Size: 4173
Editor: AlexandraGronholz
Comment:
Deletions are marked like this. Additions are marked like this.
Line 5: Line 5:

= Einführung in die Grundlagen der Numerik und das Programmieren unter Unix/Linux =

== Iterative Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen ==

=== Euler-Verfahren ===
{{{#!python
from pylab import *

L=100 #raeumlich
M=500 #zeitschritte
#c=0.1 #oder unten als sinus def
dx=1./L
dt=1./10
X=linspace(0,1,L)
u=zeros((M,L))
u[0,:]=exp(-500*(X-0.5)**2) #gaussfunktion
#u[0,45:55]=1. #rechteck

ion()
figure()
line,=plot(X,u[0,:])

for n in range(M-1):
    
    c=0.1*cos((n*dt)/10*pi)
    CFL=c*dt/dx
    for j in range(L-1):
        u[n+1,j]=u[n,j]-CFL/2*(u[n,j+1]-u[n,j-1])
                                 
    line.set_ydata(u[n+1,:])
    draw()
}}}
{{attachment:euler_start.png}}
{{attachment:euler_t50.png}}
'''links:''' Startsituation
'''rechts:''' Situation nach 50 Zeitschritten

== Finite Differenzen Methode zur Lösung der Advektionsgleichung ==
=== Upstream-Verfahren ===
{{{#!python

from pylab import *

L=100 #raeumlich
M=500 #zeitschritte
#c=0.1 #oder unten als sinus def
dx=1./L
dt=1./10
X=linspace(0,1,L)
u=zeros((M,L))
u[0,:]=exp(-500*(X-0.5)**2) #gaussfunktion
#u[0,45:55]=1. #rechteck

ion()
figure()
line,=plot(X,u[0,:])

for n in range(M-1):
    
    c=0.1*cos((n*dt)/10*pi)
    CFL=c*dt/dx
    for j in range(L-1):
        if CFL>0:
            u[n+1,j]=u[n,j]-CFL*(u[n,j]-u[n,j-1])
        else:
            u[n+1,j]=u[n,j]-CFL*(u[n,j+1]-u[n,j])
                                 
    line.set_ydata(u[n+1,:])
    draw()
}}}
{{attachment:upstream_start.png}}
{{attachment:upstream_t50.png}}

'''links:''' Startsituation
'''rechts:''' Situation nach 50 Zeitschritten
=== Upstream-Verfahren mit Werteüberschreibung ===
{{{#!python

from pylab import *

L=100 #raeumlich #modifiziert mit ueberschr werten/kein feld mehr
M=500 #zeitschritte
#c=0.1 #oder unten als sinus def
dx=1./L
dt=1./10
X=linspace(0,1,L)
u=zeros((2,L))
u[0,:]=exp(-500*(X-0.5)**2) #gaussfunktion
#u[0,45:55]=1. #rechteck

ion()
figure()
line,=plot(X,u[0,:])

for n in range(M-1):
    
    c=0.1*cos((n*dt)/10*pi)
    CFL=c*dt/dx
    for j in range(L-1):
        if CFL>0:
            u[1,j]=u[0,j]-CFL*(u[0,j]-u[0,j-1])
        else:
            u[1,j]=u[0,j]-CFL*(u[0,j+1]-u[0,j])
                                 
    line.set_ydata(u[1,:])
    draw()
    u[0,:]=u[1,:]

}}}

=== Leapfrog-Verfahren ===
{{{#!python

from pylab import *

L=100 #raeumlich
M=500 #zeitschritte
#c=0.1 #oder unten als sinus def
dx=1./L
dt=1./10
X=linspace(0,1,L)
u=zeros((M,L))
u[0,:]=exp(-500*(X-0.5)**2) #gaussfunktion
#u[0,45:55]=1. #rechteck

ion()
figure()
line,=plot(X,u[0,:])

c=0.1*cos((0*dt)/10*pi)
CFL=c*dt/dx
   

for j in range(L-1): #j=raum
        u[1,j]=u[0,j]-CFL/2*(u[0,j+1]-u[0,j-1])+CFL**2/2*(u[0,j+1]-2*u[0,j]+u[0,j-1])

for n in range(1,M-1):
    
    c=0.1*cos((n*dt)/10*pi)
    CFL=c*dt/dx
   
    
    for j in range(L-1):
        u[n+1,j]=u[n-1,j]-CFL*(u[n,j+1]-u[n,j-1])
                                 
    line.set_ydata(u[n+1,:])
    draw()
}}}
{{attachment:leapfro_start.png}}
{{attachment:leapfrog_t50.png}}
'''links:''' Startsituation
'''rechts:''' Situation nach 50 Zeitschritten

=== Lax-Wendroff-Verfahren ===
{{{#!python

from pylab import *

L=100 #raeumlich
M=500 #zeitschritte
#c=0.1 #oder unten als sinus def
dx=1./L
dt=1./10
X=linspace(0,1,L)
u=zeros((M,L))
#u[0,:]=exp(-500*(X-0.5)**2) #gaussfunktion
u[0,45:55]=1. #rechteck

ion()
figure()
line,=plot(X,u[0,:])

for n in range(M-1):
    
    c=0.1*cos((n*dt)/10*pi)
    CFL=c*dt/dx
    for j in range(L-1):
        u[n+1,j]=u[n,j]-CFL/2*(u[n,j+1]-u[n,j-1])+CFL**2/2*(u[n,j+1]-2*u[n,j]+u[n,j-1])
                                 
    line.set_ydata(u[n+1,:])
    draw()
}}}
{{attachment:laxwendroff_start.png}}
{{attachment:laxwendroff_t50.png}}
'''links:''' Startsituation
'''rechts:''' Situation nach 50 Zeitschritten

Einführung in die Grundlagen der Numerik und das Programmieren unter Unix/Linux

Iterative Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen

Euler-Verfahren

   1 from pylab import *
   2 
   3 L=100 #raeumlich
   4 M=500 #zeitschritte
   5 #c=0.1  #oder unten als sinus def
   6 dx=1./L
   7 dt=1./10
   8 X=linspace(0,1,L)
   9 u=zeros((M,L))
  10 u[0,:]=exp(-500*(X-0.5)**2) #gaussfunktion
  11 #u[0,45:55]=1. #rechteck
  12 
  13 ion()
  14 figure()
  15 line,=plot(X,u[0,:])
  16 
  17 for n in range(M-1):
  18     
  19     c=0.1*cos((n*dt)/10*pi)
  20     CFL=c*dt/dx
  21     for j in range(L-1):
  22         u[n+1,j]=u[n,j]-CFL/2*(u[n,j+1]-u[n,j-1])
  23                                  
  24     line.set_ydata(u[n+1,:])
  25     draw()

euler_start.png euler_t50.png links: Startsituation rechts: Situation nach 50 Zeitschritten

Finite Differenzen Methode zur Lösung der Advektionsgleichung

Upstream-Verfahren

   1 from pylab import *
   2 
   3 L=100 #raeumlich
   4 M=500 #zeitschritte
   5 #c=0.1  #oder unten als sinus def
   6 dx=1./L
   7 dt=1./10
   8 X=linspace(0,1,L)
   9 u=zeros((M,L))
  10 u[0,:]=exp(-500*(X-0.5)**2) #gaussfunktion
  11 #u[0,45:55]=1. #rechteck
  12 
  13 ion()
  14 figure()
  15 line,=plot(X,u[0,:])
  16 
  17 for n in range(M-1):
  18     
  19     c=0.1*cos((n*dt)/10*pi)
  20     CFL=c*dt/dx
  21     for j in range(L-1):
  22         if CFL>0:
  23             u[n+1,j]=u[n,j]-CFL*(u[n,j]-u[n,j-1])
  24         else:
  25             u[n+1,j]=u[n,j]-CFL*(u[n,j+1]-u[n,j])
  26                                  
  27     line.set_ydata(u[n+1,:])
  28     draw()

upstream_start.png upstream_t50.png

links: Startsituation rechts: Situation nach 50 Zeitschritten

Upstream-Verfahren mit Werteüberschreibung

   1 from pylab import *
   2 
   3 L=100 #raeumlich           #modifiziert mit ueberschr werten/kein feld mehr
   4 M=500 #zeitschritte
   5 #c=0.1  #oder unten als sinus def
   6 dx=1./L
   7 dt=1./10
   8 X=linspace(0,1,L)
   9 u=zeros((2,L))
  10 u[0,:]=exp(-500*(X-0.5)**2) #gaussfunktion
  11 #u[0,45:55]=1. #rechteck
  12 
  13 ion()
  14 figure()
  15 line,=plot(X,u[0,:])
  16 
  17 for n in range(M-1):
  18     
  19     c=0.1*cos((n*dt)/10*pi)
  20     CFL=c*dt/dx
  21     for j in range(L-1):
  22         if CFL>0:
  23             u[1,j]=u[0,j]-CFL*(u[0,j]-u[0,j-1])
  24         else:
  25             u[1,j]=u[0,j]-CFL*(u[0,j+1]-u[0,j])
  26                                  
  27     line.set_ydata(u[1,:])
  28     draw()
  29     u[0,:]=u[1,:]

Leapfrog-Verfahren

   1 from pylab import *
   2 
   3 L=100 #raeumlich
   4 M=500 #zeitschritte
   5 #c=0.1  #oder unten als sinus def
   6 dx=1./L
   7 dt=1./10
   8 X=linspace(0,1,L)
   9 u=zeros((M,L))
  10 u[0,:]=exp(-500*(X-0.5)**2) #gaussfunktion
  11 #u[0,45:55]=1. #rechteck
  12 
  13 ion()
  14 figure()
  15 line,=plot(X,u[0,:])
  16 
  17 c=0.1*cos((0*dt)/10*pi)
  18 CFL=c*dt/dx
  19    
  20 
  21 for j in range(L-1): #j=raum
  22         u[1,j]=u[0,j]-CFL/2*(u[0,j+1]-u[0,j-1])+CFL**2/2*(u[0,j+1]-2*u[0,j]+u[0,j-1])
  23 
  24 for n in range(1,M-1):
  25     
  26     c=0.1*cos((n*dt)/10*pi)
  27     CFL=c*dt/dx
  28    
  29     
  30     for j in range(L-1):
  31         u[n+1,j]=u[n-1,j]-CFL*(u[n,j+1]-u[n,j-1])
  32                                  
  33     line.set_ydata(u[n+1,:])
  34     draw()

leapfro_start.png leapfrog_t50.png links: Startsituation rechts: Situation nach 50 Zeitschritten

Lax-Wendroff-Verfahren

   1 from pylab import *
   2 
   3 L=100 #raeumlich
   4 M=500 #zeitschritte
   5 #c=0.1  #oder unten als sinus def
   6 dx=1./L
   7 dt=1./10
   8 X=linspace(0,1,L)
   9 u=zeros((M,L))
  10 #u[0,:]=exp(-500*(X-0.5)**2) #gaussfunktion
  11 u[0,45:55]=1. #rechteck
  12 
  13 ion()
  14 figure()
  15 line,=plot(X,u[0,:])
  16 
  17 for n in range(M-1):
  18     
  19     c=0.1*cos((n*dt)/10*pi)
  20     CFL=c*dt/dx
  21     for j in range(L-1):
  22         u[n+1,j]=u[n,j]-CFL/2*(u[n,j+1]-u[n,j-1])+CFL**2/2*(u[n,j+1]-2*u[n,j]+u[n,j-1])
  23                                  
  24     line.set_ydata(u[n+1,:])
  25     draw()

laxwendroff_start.png laxwendroff_t50.png links: Startsituation rechts: Situation nach 50 Zeitschritten

LehreWiki: NumerikProgrammierenEinfuehrung2010 (last edited 2010-02-01 14:47:00 by AlexandraGronholz)